Archivos para julio, 2015

¿Cómo de alto es muy alto?

Publicado: julio 24, 2015 en Uncategorized

Sí, sí, ya sé, todos pensabais ya que este sería uno de tantos blogs que nacen con mucho entusiasmo pero mueren antes de llegar a las cinco publicaciones. Razones para pensarlo había, porque llevo meses sin escribir nada en él, pero los que sois profesores me entenderéis cuando digo que durante el año escolar la corriente que produce el trabajo del día a día se lleva todo lo demás por delante.

Así que no me ha quedado otro remedio que esperar a las vacaciones para contaros cómo intenté que mis alumnos le cogieran gusto a eso de la trigonometría. No es tarea fácil, ya que no suelen estar bien predispuestos, a pesar de ser su primer contacto con ella en clase. Algunos alumnos han oído hablar de la trigonometría a sus hermanos mayores y otros quizá hayan oído hablar de ella en alguna serie de TV, en las que se suele reflejar como algo aburrido o difícil. Como ejemplo, véanse las dificultades de Mr. Bean en este examen:

Mr Bean y sus problemas con la trigonometría

Mr Bean y sus problemas con la trigonometría

Lo habitual en los libros de texto es presentar todos los fundamentos matemáticos de la trigonometría y, en el apartado final, explicar sus aplicaciones. A mí me pareció más motivador empezar al revés, viendo primero algunos usos de la trigonometría para motivarles y meternos después con más ganas en la matemática que hay detrás. Claro, es probable que alguno de sus usos más importantes les queden aún fuera del alcance (por ejemplo, su aplicación en el campo de las señales a través de la transformada de Fourier, pues no conocen todavía los conceptos de frecuencia y fase). A pesar de ello, sus aplicaciones en geometría las pueden entender fácilmente. Creo que este vídeo resume muy bien este tipo de usos (yo se lo proyecté a mis alumnos a partir del 0:37, por centrarnos únicamente en las aplicaciones en un primer momento).

Una vez que los alumnos entendieron que uno de los usos de la trigonometría es calcular alturas difíciles de medir y, después de explicarles las razones trigonométricas, una opción habría sido plantearles un problema similar a éste (probablemente, a más de uno de vosotros le sonará):

Problema para calcular la altura a partir de la trigonometría  (http://slideplayer.es/slide/27960/ )

Problema para calcular la altura a partir de la trigonometría
(http://slideplayer.es/slide/27960/ )

En lugar de eso, les planteé: ¿qué altura se os ocurre que podemos medir sin salir del colegio? ¿de qué formas distintas la podríamos calcular? ¿Qué medidas necesitamos tomar? ¿Qué instrumentos necesitamos?

La mayoría eligieron calcular la altura de nuestro edificio desde el patio. Entre las formas de calcularla, la más original fue la de un alumno que propuso subirse al tejado y medirla con un láser, pero no supo especificar más (yo, sin ser experto en el campo, supongo que esta opción es factible con un sensor de distancias de largo alcance). Por supuesto, no faltó el que propuso usar una “cinta métrica gigante” para medir la distancia desde lo alto hasta la base. En cualquier caso, esos métodos quedaban descartados, porque ninguno de mis alumnos tenía permiso para subir al tejado. Así, la única opción que nos quedó para poder hallar la altura fue observar el edificio desde una distancia y medir tanto dicha distancia en horizontal como el ángulo (de elevación).

¿Y qué instrumentos necesitaríamos? Para medir la distancia, era fácil: un flexómetro (perfecto, eso podíamos conseguirlo fácilmente). ¿Y para medir el ángulo? A esto no supieron responder, así que les hablé de los teodolitos. Sin embargo, descartamos esta opción porque comprarlos era muy caro y construirlos nos llevaría demasiado tiempo y queríamos algo más sencillo (si os interesa, en este documento explican paso a paso cómo construir un teodolito escolar). Así que les hablé de los cuadrantes, les enseñé uno ya hecho y discutimos qué tipo de materiales podrían usar para hacerlo y cómo lo podrían construir. Para ello, usé esta sencilla presentación en PPT.

Instrumentos para medir ángulos (Presentación en PowerPoint)

Cuadrante

Cuadrante elaborado por un alumno

Una vez que cada uno hizo su cuadrante, sólo quedaba bajar al patio, realizar las medidas y hacer los cálculos para hallar la altura. Eso sí, insistí mucho en que antes de hacer las medidas y los cálculos hicieran una estimación de la altura del edificio, para que más tarde pudieran verificar si el resultado obtenido tenía sentido.

Para que todo fluyera con orden, les preparé un guión, que constaba de dos partes: primero, se trataba de calcular la altura a la que estaba el tejado. Aquí, el único factor adicional a tener en cuenta fue que las medidas podían ser imprecisas debido al viento o a la poca precisión del propio cuadrante, por les pedí que hicieran dos medidas, cada una desde una distancia diferente, para observar si se producían grandes discrepancias y, en tal caso, repetir las medidas.

Guión de la práctica

En la segunda parte de la práctica, les pedí que calcularan la altura de un pequeño saliente que tiene nuestro edificio en el tejado (véase el guión). En este caso, no se podía acceder a la base de dicho saliente, por lo que teníamos dos incógnitas: la distancia a la base y la altura. La única opción era plantear dos triángulos y medir la distancia entre los dos puntos, tal como se explica en el guion.

Marta mide la altura de Bárbara hasta el ojo

Marta mide la altura de Bárbara hasta el ojo

Carlota mide el ángulo de elevación

Carlota mide el ángulo de elevación

Javi mide el ángulo de elevación

Javi mide el ángulo de elevación

Borja, Pablo y Sergio miden la distancia desde la base

Borja, Pablo y Sergio miden la distancia desde la base

Al final de la clase, todos los grupos habían obtenido una medida de la altura del colegio y del pequeño saliente con bastante precisión. ¡Habíamos utilizado la trigonometría para algo más que resolver un problema en el libro de texto! Por el camino, habíamos aprendido qué instrumentos se usan para medir ángulos y, lo más importante, nos habíamos planteado diferentes métodos para obtener la información que queríamos y diversas vías para llevar a cabo esos métodos, ajustándonos a las restricciones (económicas, temporales, de seguridad, etc.). Y por último, habíamos llegado a un resultado razonable y que la lógica nos permitía dar por bueno (y si no lo habíamos hecho a la primera, habíamos revisado porque sabíamos que había un error). Los alumnos se lo pasaron bien y aprovechamos para cambiar un poco la dinámica de clase con una práctica “de campo” que, espero, tardaran más en olvidar que otras clases.

Y hasta aquí la entrada de hoy. ¿A alguien se le ocurren otras ideas para hacer la trigonometría más accesible? Y, en un plano más general (no referido únicamente a la trigonometría), ¿se os ocurren otras actividades de tipo práctico o proyectos que podamos hacer con nuestros alumnos para que estén más motivados en clase de matemáticas?

Recomendación musical: Mengele y el amor.

Fuentes consultadas:

http://www.iesamoreno.es/_iesdata/dptos/dpto_matematicas/eso4/practicatrigonometria.pdf

http://www.qedcat.com/moviemath/

http://www.cac.es/cursomotivar/resources/document/2013/13.pdf

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