¡Explora, explórame, explo!

Publicado: enero 17, 2019 en Uncategorized
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En una entrada anterior, os hablé del Programa Diploma (PD) del Bachillerato Internacional (IB). Hoy os quiero hablar de la asignatura de matemáticas y, en concreto, de un componente de ella, la exploración.
La primera matización que tengo que hacer es que la estructura de las asignaturas de matemáticas cambia este año (2019), así que puede que algunos aspectos concretos cambien, pero dudo que lo haga la esencia. Esta entrada se basa en la asignatura de Matemáticas Nivel Medio, pero el núcleo es el mismo para los demás niveles.

¿Cómo se evalúa la asignatura de matemáticas? Un 80% corresponde a un examen final que se realiza en mayo del segundo año. El otro 20%, a un componente que recibe el nombre de Evaluación Interna. Se trata de una exploración individual sobre un tema elegido por el alumno.

Qué es y qué no es una exploración
La verdad es que cuando empecé a dar clases de Matemáticas en el PD, esta exploración fue el elemento que más me costó entender. A día de hoy, me resulta sin duda la parte más estimulante de la asignatura, tanto si lo pienso desde el punto de vista del profesor como del alumno. ¿Por qué? Cada año hay varios alumnos que dan con un tema muy original y personal, en el que yo no soy experto o que simplemente nunca me había puesto a explorar. ¡Y acabo aprendiendo un montón de cosas con las que no me había encontrado antes en todos mis años de docencia!

Ahora bien, si a mí me costó entender en qué consiste la exploración, puedo imaginar que a los alumnos también les costará lo suyo (y de hecho, así ocurre). La primera idea que hay que quitarse de la cabeza es que se trata de una investigación exhaustiva sobre un tema. No. No se trata de ahondar en un tema y llevar a cabo una síntesis de lo investigado. Por muy coherente, cohesionada, completa y concisa que sea esa investigación, no se estará cumpliendo con lo que se pide (aunque estas cuatro características son necesarias). Lo que se espera es que el alumno piense en un tema que le interese y explore sobre él de la forma más personal posible. ¿Y qué quiere decir explorar?

Aunque resulte tentador, no se trata de llevar al alumnado de la mano, aunque sí hay que saber guiarlo

Explorar es, en este caso, jugar con un tema, hacerse preguntas, conjeturar, pensar en cómo confirmar o desechar esa conjetura, hacer simplificaciones por el camino si es necesario, introducir variaciones y ver cómo afectarían al tema analizado, reflexionar sobre los resultados obtenidos, etc. Así pues, dado que la exploración es totalmente personal, es plausible que nadie en el mundo se haya planteado la cuestión con anterioridad y, por tanto, no sea necesario ni pertinente el uso de fuentes bibliográficas (al contrario de lo que pasaría en un trabajo de investigación).

Y entonces, ¿con base en qué conocimiento se ha de llevar a cabo esa exploración? Pues bien, se trata de que la exploración se pueda realizar utilizando los conocimientos adquiridos en el PD. Esta última es, sin duda, una cuestión muy peliaguda y, a mi juicio, donde más importancia tiene la labor del profesor como guía. ¿Cómo puede un alumno, al plantearse un tema, saber si las matemáticas que conoce serán suficientes para explorar sobre él? ¿Y si, por el contrario, el tema elegido requiere unas matemáticas muy básicas para su exploración y eso le acaba penalizando? La buena noticia es que existen multitud de temas que se pueden explorar usando las matemáticas aprendidas en el PD y solo esas matemáticas. La elección de dicho tema es, en mi opinión, la decisión más importante de todo el proceso.

Algunos ejemplos de exploraciones
Algunos ejemplos de exploraciones realizadas por alumnos míos son:

Física
– análisis del alcance máximo de una catapulta y de qué factores depende.
– modelado matemático del movimiento de un péndulo triple.

Deportes
– correlación entre el éxito como tenista y la mano con la que se coge la raqueta.
– factores que afectan a la marca obtenida en la prueba de lanzamiento de peso.

Sociología
– predicción del crecimiento de la población de España en relación con los fenómenos migratorios y las tasas de natalidad/mortalidad.
– correlación entre la tasa de delitos y el tamaño de una población tomando Madrid y Tokio como referencia (este alumno, por ejemplo, nació en Tokio y se había mudado a Madrid justo antes de empezar el PD).

Juegos
– posibles variaciones del piedra-papel-tijera y diseño para que sea un juego matemáticamente justo.
– patrones numéricos en el juego de la Torre de Hanoi.

El piedra, papel o tijera, un clásico entre clásicos

Matemáticas per se:
– Análisis de los patrones encontrados en las proporciones metálicas.
Toma de decisiones:
– Ubicación óptima de un negocio usando diagramas de Voronoi.
– ¿Cómo decidir si un correo electrónico debe clasificarse como deseado o no deseado usando probabilidad?

¿Cómo se decide cuándo un correo es no deseado?

Estructura de una exploración
Cojamos un ejemplo para ver cómo se podría estructurar una exploración. Por supuesto, esta es solo una opción dentro de las múltiples posibles formas de organizarlo.

Tema
Análisis del alcance máximo de una catapulta y de qué factores depende.

Introducción
– ¿Cuál es el OBJETIVO de la exploración? (¿QUÉ quiero hacer?)
Analizar el alcance máximo de una catapulta y de qué factores depende
– ¿Cuál es la RAZÓN por la que quiero explorar sobre este tema (¿POR QUÉ este tema?)
Soy un apasionado de la historia de las guerras y de los juegos de estrategia basados en ella. Uno de estos juegos requería el uso de catapultas y esto me dio la idea de investigar cómo podía maximizar el alcance de mis tiros.
– ¿Qué METODOLOGÍA voy a seguir para llevar a cabo esta exploración? (¿CÓMO lo voy a hacer?)
Voy a obtener la ecuación de la trayectoria de un tiro con catapulta. Partiré de la aceleración y usaré el cálculo integral para obtener la velocidad y el desplazamiento. Una vez obtenida esta ecuación, analizaré de qué factores depende el alcance de dicho tiro y usaré una técnica adecuada para maximizarlo.

Cuerpo de la exploración
Básicamente, las líneas seguidas en la exploración de este alumno fueron:
– (Mirada hacia delante) Predicción de cuál puede ser una ecuación para la trayectoria: todo apunta a que va a ser una parábola, por lo que debería estar descrita por una ecuación de segundo grado que dependa del tiempo. ¿Qué factores creo que influirán en el alcance del tiro?
– (Deducción matemática) Obtención de la ecuación de desplazamiento y del alcance, a través del cálculo integral.
– (Mirada hacia atrás) ¿Es la ecuación obtenida cuadrática, tal como había previsto? ¿Depende el alcance de los factores que se me habían ocurrido? ¿Cómo es que no depende de la masa?
– (¿Limitaciones?) ¿He hecho alguna simplificación a lo largo de mi deducción? (por ejemplo, no he tenido en cuenta el viento).
– (¿Ampliaciones?) ¿Qué cambiaría si tuviera en cuenta el viento? ¿Podría abordarlo matemáticamente o quedará fuera de lo que sé hacer?
– (Otras preguntas que van surgiendo) ¿Cómo puedo encontrar el máximo alcance en función del ángulo de tiro? (quizá puedo usar derivadas, podría hacer gráfica a partir de una tabla de valores, ¿por cuál me decido y por qué?).
Como se ve, a lo largo de la propia exploración, el alumno se hace preguntas, crea hipótesis, comprueba si funcionan, reflexiona sobre qué simplificaciones ha tenido que hacer, se le van ocurriendo nuevas preguntas, etc. De hecho, muchas veces el alumno va concretando su objetivo a medida que avanza en la exploración.

Conclusión de la exploración
La conclusión no es más que un «mirar hacia atrás» y sintetizar todo lo que se ha hecho, en relación con el objetivo que uno se había marcado. Es muy importante analizar las limitaciones de la exploración, así como posibles líneas futuras de trabajo (a menudo, ambas van de la mano). También es necesario repetir por qué esta exploración es importante a nivel personal. Es esencial no añadir nueva información en la conclusión.

Lista de comprobación
Me parece interesante que los alumnos cuenten con una lista de comprobación para cerciorarse de que su exploración cuenta con todos los componentes necesarios. He aquí una posible lista muy útil.

Agradecimiento
Quiero hacer un agradecimiento explícito a Guillermo Afonso, profesor de Matemáticas del PD y del PAI, de quien he aprendido prácticamente todo lo que sé respecto a la exploración del PD.

comentarios
  1. ¡Gracias por el agradecimiento! Quería añadir algunas exploraciones divertidas de años anteriores, como por ejemplo un análisis de la probabilidad de ganar jugando al trap the cat (https://llerrah.com/cattrap.htm) donde salieron los números combinatorios para alucine de la alumna, una exploración sobre si se repiten los movimientos en el ballet, un sistema para hacer multiplicaciones y sumas largas usando binario y los dedos de las manos, o un apasionante descubrimiento de como se repiten las proporciones en la estructura de la música de los Red Hot Chili Peppers.

    Aquí va una curiosidad: tuve una exploración que explicó el problema del cumpleaños, y quiso saber cuanta gente hacia falta en una habitación para que hubiera un 50% de probabilidad de que n personas tuvieran el cumpleaños el mismo día. El problema habitual nos enseña que para n=2 hacen falta 23 personas. La alumna lucho y lucho para dar con una solución para n>2, pero al final no consiguió la fórmula o expresión que buscaba. ¡No pasó nada! Con todo bien explicado, y muchas evidencias del esfuerzo hecho, de pensamiento crítico, de comprensión y de exploración de las matemáticas, la exploración obtuvo una nota muy alta. Había obtenido algunos resultados y observaciones interesantes, pero no el objetivo que se había planteado al inicio.

    • Qué temas tan interesantes. Me parece muy interesante lo que cuentas sobre la exploración del problema del cumpleaños, porque es un ejemplo que muestra claramente que no se deben agobiar por no llegar a lo que esperaban, siempre y cuando en el proceso se cumplan las condiciones que comentas (evidencias de pensamiento crítico, comprensión reflexión y exploración de las matemáticas).

      ¡El tema de las proporciones en la música de los Red Hot me ha encantado!

  2. Jorge dice:

    Interesante todo lo que comentas.
    Todo esto puede orientar mucho mejor y animar a un alumno que quiera cursar unos estudios superiores de grado sobre esta materia

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