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En una entrada anterior, os hablé del Programa Diploma (PD) del Bachillerato Internacional (IB). Hoy os quiero hablar de la asignatura de matemáticas y, en concreto, de un componente de ella, la exploración.
La primera matización que tengo que hacer es que la estructura de las asignaturas de matemáticas cambia este año (2019), así que puede que algunos aspectos concretos cambien, pero dudo que lo haga la esencia. Esta entrada se basa en la asignatura de Matemáticas Nivel Medio, pero el núcleo es el mismo para los demás niveles.

¿Cómo se evalúa la asignatura de matemáticas? Un 80% corresponde a un examen final que se realiza en mayo del segundo año. El otro 20%, a un componente que recibe el nombre de Evaluación Interna. Se trata de una exploración individual sobre un tema elegido por el alumno.

Qué es y qué no es una exploración
La verdad es que cuando empecé a dar clases de Matemáticas en el PD, esta exploración fue el elemento que más me costó entender. A día de hoy, me resulta sin duda la parte más estimulante de la asignatura, tanto si lo pienso desde el punto de vista del profesor como del alumno. ¿Por qué? Cada año hay varios alumnos que dan con un tema muy original y personal, en el que yo no soy experto o que simplemente nunca me había puesto a explorar. ¡Y acabo aprendiendo un montón de cosas con las que no me había encontrado antes en todos mis años de docencia!

Ahora bien, si a mí me costó entender en qué consiste la exploración, puedo imaginar que a los alumnos también les costará lo suyo (y de hecho, así ocurre). La primera idea que hay que quitarse de la cabeza es que se trata de una investigación exhaustiva sobre un tema. No. No se trata de ahondar en un tema y llevar a cabo una síntesis de lo investigado. Por muy coherente, cohesionada, completa y concisa que sea esa investigación, no se estará cumpliendo con lo que se pide (aunque estas cuatro características son necesarias). Lo que se espera es que el alumno piense en un tema que le interese y explore sobre él de la forma más personal posible. ¿Y qué quiere decir explorar?

Aunque resulte tentador, no se trata de llevar al alumnado de la mano, aunque sí hay que saber guiarlo

Explorar es, en este caso, jugar con un tema, hacerse preguntas, conjeturar, pensar en cómo confirmar o desechar esa conjetura, hacer simplificaciones por el camino si es necesario, introducir variaciones y ver cómo afectarían al tema analizado, reflexionar sobre los resultados obtenidos, etc. Así pues, dado que la exploración es totalmente personal, es plausible que nadie en el mundo se haya planteado la cuestión con anterioridad y, por tanto, no sea necesario ni pertinente el uso de fuentes bibliográficas (al contrario de lo que pasaría en un trabajo de investigación).

Y entonces, ¿con base en qué conocimiento se ha de llevar a cabo esa exploración? Pues bien, se trata de que la exploración se pueda realizar utilizando los conocimientos adquiridos en el PD. Esta última es, sin duda, una cuestión muy peliaguda y, a mi juicio, donde más importancia tiene la labor del profesor como guía. ¿Cómo puede un alumno, al plantearse un tema, saber si las matemáticas que conoce serán suficientes para explorar sobre él? ¿Y si, por el contrario, el tema elegido requiere unas matemáticas muy básicas para su exploración y eso le acaba penalizando? La buena noticia es que existen multitud de temas que se pueden explorar usando las matemáticas aprendidas en el PD y solo esas matemáticas. La elección de dicho tema es, en mi opinión, la decisión más importante de todo el proceso.

Algunos ejemplos de exploraciones
Algunos ejemplos de exploraciones realizadas por alumnos míos son:

Física
– análisis del alcance máximo de una catapulta y de qué factores depende.
– modelado matemático del movimiento de un péndulo triple.

Deportes
– correlación entre el éxito como tenista y la mano con la que se coge la raqueta.
– factores que afectan a la marca obtenida en la prueba de lanzamiento de peso.

Sociología
– predicción del crecimiento de la población de España en relación con los fenómenos migratorios y las tasas de natalidad/mortalidad.
– correlación entre la tasa de delitos y el tamaño de una población tomando Madrid y Tokio como referencia (este alumno, por ejemplo, nació en Tokio y se había mudado a Madrid justo antes de empezar el PD).

Juegos
– posibles variaciones del piedra-papel-tijera y diseño para que sea un juego matemáticamente justo.
– patrones numéricos en el juego de la Torre de Hanoi.

El piedra, papel o tijera, un clásico entre clásicos

Matemáticas per se:
– Análisis de los patrones encontrados en las proporciones metálicas.
Toma de decisiones:
– Ubicación óptima de un negocio usando diagramas de Voronoi.
– ¿Cómo decidir si un correo electrónico debe clasificarse como deseado o no deseado usando probabilidad?

¿Cómo se decide cuándo un correo es no deseado?

Estructura de una exploración
Cojamos un ejemplo para ver cómo se podría estructurar una exploración. Por supuesto, esta es solo una opción dentro de las múltiples posibles formas de organizarlo.

Tema
Análisis del alcance máximo de una catapulta y de qué factores depende.

Introducción
– ¿Cuál es el OBJETIVO de la exploración? (¿QUÉ quiero hacer?)
Analizar el alcance máximo de una catapulta y de qué factores depende
– ¿Cuál es la RAZÓN por la que quiero explorar sobre este tema (¿POR QUÉ este tema?)
Soy un apasionado de la historia de las guerras y de los juegos de estrategia basados en ella. Uno de estos juegos requería el uso de catapultas y esto me dio la idea de investigar cómo podía maximizar el alcance de mis tiros.
– ¿Qué METODOLOGÍA voy a seguir para llevar a cabo esta exploración? (¿CÓMO lo voy a hacer?)
Voy a obtener la ecuación de la trayectoria de un tiro con catapulta. Partiré de la aceleración y usaré el cálculo integral para obtener la velocidad y el desplazamiento. Una vez obtenida esta ecuación, analizaré de qué factores depende el alcance de dicho tiro y usaré una técnica adecuada para maximizarlo.

Cuerpo de la exploración
Básicamente, las líneas seguidas en la exploración de este alumno fueron:
– (Mirada hacia delante) Predicción de cuál puede ser una ecuación para la trayectoria: todo apunta a que va a ser una parábola, por lo que debería estar descrita por una ecuación de segundo grado que dependa del tiempo. ¿Qué factores creo que influirán en el alcance del tiro?
– (Deducción matemática) Obtención de la ecuación de desplazamiento y del alcance, a través del cálculo integral.
– (Mirada hacia atrás) ¿Es la ecuación obtenida cuadrática, tal como había previsto? ¿Depende el alcance de los factores que se me habían ocurrido? ¿Cómo es que no depende de la masa?
– (¿Limitaciones?) ¿He hecho alguna simplificación a lo largo de mi deducción? (por ejemplo, no he tenido en cuenta el viento).
– (¿Ampliaciones?) ¿Qué cambiaría si tuviera en cuenta el viento? ¿Podría abordarlo matemáticamente o quedará fuera de lo que sé hacer?
– (Otras preguntas que van surgiendo) ¿Cómo puedo encontrar el máximo alcance en función del ángulo de tiro? (quizá puedo usar derivadas, podría hacer gráfica a partir de una tabla de valores, ¿por cuál me decido y por qué?).
Como se ve, a lo largo de la propia exploración, el alumno se hace preguntas, crea hipótesis, comprueba si funcionan, reflexiona sobre qué simplificaciones ha tenido que hacer, se le van ocurriendo nuevas preguntas, etc. De hecho, muchas veces el alumno va concretando su objetivo a medida que avanza en la exploración.

Conclusión de la exploración
La conclusión no es más que un «mirar hacia atrás» y sintetizar todo lo que se ha hecho, en relación con el objetivo que uno se había marcado. Es muy importante analizar las limitaciones de la exploración, así como posibles líneas futuras de trabajo (a menudo, ambas van de la mano). También es necesario repetir por qué esta exploración es importante a nivel personal. Es esencial no añadir nueva información en la conclusión.

Lista de comprobación
Me parece interesante que los alumnos cuenten con una lista de comprobación para cerciorarse de que su exploración cuenta con todos los componentes necesarios. He aquí una posible lista muy útil.

Agradecimiento
Quiero hacer un agradecimiento explícito a Guillermo Afonso, profesor de Matemáticas del PD y del PAI, de quien he aprendido prácticamente todo lo que sé respecto a la exploración del PD.

UN POCO DE HISTORIA

La primera vez que oí hablar del Bachillerato Internacional (BI) tenía unos 25 años. Estaba en clase de alemán y en la presentación de los alumnos, un par de micos decían, en buenísimo alemán, que acababan de empezar el BI. «¡Vaya! -pensé para mí- ¡qué nivel! Si hablan así alemán a ese edad , ese programa debe de ser para niños superdotados» (alumnos con altas capacidades , diría ahora que estoy metido en la educación).

Por casualidades de la vida, tres años más tarde empecé a trabajar en uno de los colegios españoles que más años lleva impartiendo el BI. Enseguida entendí, que lejos de ser un programa exclusivo, se trataba de una iniciativa de varios colegios con origen en Suiza que pretendía extender una serie de principios pedagógicos y objetivos a centros de otros países, de forma que el programa fuera el mismo en los distintos países y centros. Por tanto, se trataba de incluir al máximo número de centros en el mundo.

El primer programa del BI se implantó en 1968 y afectaba a los dos años de Bachillerato. Este programa se denomina Programa Diploma (PD). Más tarde, se crearon otros programas para edades más tempranas: el Programa de Años Intermedios (PAI, 1994) y el Programa de Escuela Primaria (PEP, 1997). El último en incorporarse fue el POP (Programa de Orientación Profesional). Es importante distinguir la Organización del Bachillerato Internacional (OBI), que a pesar de su nombre se refiere a todos los programas en global, del programa específico diseñado para el Bachillerato, que como hemos dicho se llama Programa Diploma (PD).

ALGUNAS IDEAS QUE DEBEMOS DESTERRAR

Aunque todos los programas del BI son interesantes, en esta entrada me voy a centrar en el PD, es decir, en el programa destinado a los alumnos de bachillerato. En primer lugar, voy a intentar aclarar algunas de las ideas erróneas que existen en torno a él.

falsas creencias

Demontando mitos (Fuente)

Idea errónea 1: es un programa de excelencia

Como ya he comentado, la idea del OBI no es que el PD sea un programa exclusivo. De hecho, pueden llevarlo a cabo aproximadamente el mismo perfil de alumnos que pueden hacer el Bachillerato Nacional (BN) en España.

Una cosa sí es cierta. En España, muchos de los centros que han implantado hasta ahora el PD lo han hecho mediante un bachillerato integrado (o bachillerato doble): es decir, los alumnos completan tanto el PD como el BN, lo que supone una mayor carga de trabajo. Esta carga del trabajo no es el doble, puesto que muchos contenidos coinciden en ambos bachilleratos, pero sí que requiere una implicación adicional por parte del alumnado. Por tanto, si lo que el centro plantea es un Bachillerato Integrado, sí que puede decirse que solo sería aconsejable para alumnos que tengan una cierta responsabilidad de cara a su propio aprendizaje.

Idea errónea 2: es un programa más difícil que el BN

Es evidente que aquellos alumnos que tengan que hacer el Bachillerato Integrado lo tendrán más difícil, puesto que están haciendo dos bachilleratos a la vez (el PD y el BN). Sin embargo, el PD no es de por sí más complicado que el BN. De hecho, yo diría que la cantidad de contenido que se debe conocer es a veces menor (por lo menos, en lo que respecta a la asignatura que yo conozco, Matemáticas). Sin embargo, sí que exige un mayor entendimiento a nivel conceptual y, en general, un mayor porcentaje de trabajos prácticos (prácticas de laboratorio, ensayos, etc.). La naturaleza del PD es diferente a la del BN y por tanto, habrá alumnos que se adapten mejor a esta forma filosofía y para los que el PD suponga una experiencia educativa mucho más rica que el BN y, por tanto, se le haga menos difícil que éste.

Idea errónea 3: es sólo para gente con dinero, para la élite

elite

¿Implantarán en Élite el BI la siguiente temporada? (Fuente)

Hoy en día, el PD se imparte en alrededor de 4800 centros en 153 países. En España, está implantado en 31 centros públicos y 81 centros privados. Por tanto, es más que posible estudiar el PD en un centro público. Se prevé (y yo así lo espero) que el PD se extienda en los próximos años a más centros y cada vez son más los centros públicos que están mostrando interés en implantar el programa.

Idea errónea 4: es sólo para quienes quieren estudiar fuera

Es cierto que la mayoría de las universidades extranjeras tienen reconocido el PD del BI y establecen sus criterios de admisión para los alumnos que lo hayan estudiado, lo que facilita enormemente el proceso de solicitud. Así pues, si un alumno tiene la idea de estudiar fuera, creo que la decisión de estudiar el PD es claramente ventajosa.

Sin embargo, ¿quiere eso decir que si un alumno va a estudiar en España no debería estudiar el PD? Para nada. De hecho, la UNED ya tiene reconocida una tabla de equivalencias para los alumnos del PD que permite que estos puedan acceder a la universidad española sin necesidad de hacer la EvAU. Aquellos que estudian un Programa Integrado tienen la ventaja de que pueden quedarse con la mejor nota de acceso que tengan, la del BN y la del PD.

DIFERENCIAS FUNDAMENTALES

Una vez desterradas las tres ideas erróneas, a continuación, voy a explicar las diferencias fundamentales entre ambos programas:

Más conceptual, menos memorístico

Basándome en las percepciones de los propios alumnos, el PD es mucho más conceptual y menos memorístico que el BN. El objetivo es que, al acabar el programa, el alumno sea capaz de llevar a cabo tareas cognitivas de nivel superior: no se trata solo de recordar y comprender (que es el nivel en el que se quedan en muchas asignaturas del BN), sino que también deben aplicar, analizar, evaluar e incluso crear.

concepto

Los conceptos, eje central del IB (Fuente)

Cualquiera de los que lea esta entrada y se haya examinado de la PAU sabe cuánta memorización está implicada en la preparación de esta prueba, así que ni siquiera voy a dedicar tiempo a buscar ejemplos de ello. Sobre cómo se evalúa el PD, lo voy a abordar más tarde en esta entrada, la evaluación es mucho más variada que la correspondiente del BN. Se valoran grabaciones de audio, presentaciones, ensayos, prácticas de laboratorio, trabajos de investigación/exploración, exámenes de comprensión auditiva, carpetas de trabajos y una monografía.

Monografía

La Monografía es uno de los tres elementos más característicos del PD. ¿Y qué es? Consiste en un trabajo de investigación pormenorizado sobre un tema elegido por el alumno en una de las asignaturas del programa. Tiene el apoyo de un profesor supervisor asignado. El factor clave es que tanto la asignatura como el tema los elige el alumno, por lo que en general están motivados y es un trabajo que hacen con gusto.

Algunas monografías interesantes:

  • Los efectos del chicle en el pH de la boca después de una comida
  • ¿Qué grado de compresión de datos en archivos de música es aceptable para el oído humano?

Teoría del Conocimiento

El segundo elemento característico es la asignatura de Teoría del Conocimiento (TdC). Se trata de una asignatura en la que los alumnos reflexionan sobre «cómo sabemos lo que sabemos». Los alumnos tienen que escribir un ensayo para TdC en el que se ahonde sobre temas relacionados con ello: un ejemplo para un ensayo de TdC sería «Las preguntas neutras no existen. Analice esta afirmación». Además, todas las asignaturas incluyen componentes de reflexión sobre cómo se accede al conocimiento.

En Matemáticas, por ejemplo, posibles conexiones con TdC serían:

  • ¿son los logaritmos una invención o un descubrimiento?
  • ¿es lo mismo “cero” que “nada”?
  • ¿cuál es la mejor unidad para medir los ángulos: grados o radianes? ¿Cuáles son los
    mejores criterios para decidirlo?
  • ¿es fácil engañar con la estadística?

Como se ve, estos dos elementos (TdC y Monografía) permiten que la enseñanza de este programa fomenten el desarrollo de las habilidades cognitivas de orden superior.

CAS (Creatividad, Acción, Servicio)

El tercer elemento distintivo, quizá el que más, es el componente CAS. Se trata de que el alumno lleve a cabo un proyecto más allá de lo meramente académico y que es condición sine qua non para la obtención del diploma. Además, deben acumular una serie de experiencias CAS. Ejemplos de proyectos CAS son: impartir clases de piano para compañeros, organizar una recaudación de fondos/comida (banco de alimentos)

Personalmente, creo que este componente es la estrella del PD, en el sentido de que «anima» al alumno a meterse en proyectos que de otra manera quizá no llevaría a cabo, por pura comodidad, pero que se lanza a hacer gracias a que está reconocido en el programa.

Evaluación del IB

¿Y cómo se evalúa el PD? El programa consta de 6 asignaturas, cada una de ellas sobre 7 puntos, lo que suma 42 puntos. A estos se les suman hasta 3 puntos por los ensayos de TdC y la Monografía. Por tanto, el máximo que se puede conseguir son 45 puntos. El aprobado se obtiene con 24 puntos, siempre y cuando no se den algunas condiciones de exclusión (que buscan básicamente que los puntos estén mínimamente distribuidos entre las asignaturas). En general, como he comentado al principio, obtener un aprobado es muy factible, pero solo aquellos que hayan adquirido un aprendizaje profundo podrán acceder a las máximas calificaciones.

En cada asignatura, hay un porcentaje de la nota que viene determinado por un examen acumulativo al final de los dos años y otro porcentaje que corresponde a otras tareas de naturaleza variada. En matemáticas, por ejemplo, un 80% corresponde al examen final y un 20% a una exploración matemática elegida por el alumno (hablaré más sobre esto en la siguiente entrada).

TODO ESTO ESTÁ MUY BIEN, PERO ¿MERECE LA PENA METERSE EN EL PD?

y ahora qué

Y, ¿qué decisión tomamos ahora?

Esta es la pregunta del millón. Pienso que en la decisión intervienen una serie de factores que impiden dar una respuesta clara: ¿se plantea un DP puro o un Programa Integrado?, ¿qué tipo de experiencia educativa creo que es mejor?, ¿voy a estudiar en el extranjero?, ¿cuánto de ello está financiado por el centro y cuánto voy a tener que pagar yo?, ¿qué carrera quiero estudiar? Yo, en lugar de responder a esta pregunta, voy a responder a esta otra: ¿es la experiencia educativa de un alumno del PD más rica que la de un alumno del BN? Para mí, sin ninguna duda. El PD ofrece muchas posibilidades para que los dos años de bachillerato sean una experiencia de aprendizaje mucho más útil, relevante, amplia y gratificante que el bachillerato que hoy día, tristemente, nos ofrece nuestro país.

Después de mucho tiempo de silencio, y con el impulso de energía y motivación que me ha dado mi incorporación a la escuela pública, resurjo cual Ave Fénix para hablar sobre cómo comenzar las clases de matemáticas.

¿Y por qué es importante un buen calentamiento? Cualquiera que haya trabajado con niños o adolescentes sabe lo cruciales que son las rutinas. La primera tentación al pensar en rutinas es asociarlas con aburrimiento, hastío, hartazgo. Y, desde luego, hay rutinas que provocan estados de ánimo como estos. Todos hemos tenido clases que empezaban por clásicos como “Abrimos el libro por la página…”, “Hoy, vamos a aprender sobre parábolas” o “Vamos a corregir los deberes”. La respuesta natural de muchos alumnos ante estas rutinas es la desconexión inmediata, dando lugar a un estado de pasividad del que luego es difícil sacarles.

¿Cómo podemos empezar las clases de forma que captemos el interés de los alumnos desde el principio y les predispongamos a participar activamente en el resto de la clase? ¿Y cómo podemos hacerlo de forma rutinaria, pero no aburrida? La mejor forma que yo he encontrado para ello son los “calentamientos” o “warm-ups”, actividades breves que les hagan pensar y “activar” sus neuronas.

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Everybody else is doing it, so why can’t we? (mi pequeño homenaje a Dolores O’Riordan) (Fuente imagen)

Llevo ya años usando este tipo de actividades en clase, pero este año he decidido ser muy sistemático para que el alumnado integre esta rutina al comienzo de cada clase. Como los veo cuatro veces por semana, decidí clasificar los warm-ups en cuatro tipos, uno por día:

  1. Sigue el patrón
  2. Cifras
  3. Acertijos
  4. Miscelánea

 

1. Sigue el patrón

Sobre la importancia que encontrar patrones tiene en la enseñanza de las matemáticas hay poco que no se haya dicho. Además de estar recogido en la LOMCE, supone una primera aproximación al modelado matemático y permite al alumno ver cómo las matemáticas sirven para representar el mundo. Sirve asimismo para fomentar la capacidad de abstracción y de generalización.

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Fuente de la imagen 

Los patrones con los que trabajamos son de varios tipos (numéricos, geométricos, etc.).  En el primer mes de clase, hemos hablado, por ejemplo, de las siguientes sucesiones numéricas: la archiconocida sucesión de Fibonacci (conectándolo con el número aúreo y su presencia en la naturaleza), los números poligonales (triangulares, cuadrados, pentagonales, etc.) y algunas sucesiones aritméticas y geométricas.

Otros patrones interesantes son los geométricos. Este año aún no hemos hablado de ninguno, salvo las figuras asociadas a los números poligonales. Tengo pensado hablar del triángulo de Sierpinski, la alfombra de Sierpinski, y otras figuras de geometría fractal que pueden llevarnos a hablar de cuestiones interesantes como el Triángulo de Pascal, el arte y las matemáticas (el gran Escher siempre les conquista).

2. Cifras

¿Quién no recuerda el mítico “tengo el exacto” del concurso “Cifras y Letras”? Qué nostalgia de aquella primera versión, con la gran Elisenda Roca. Pues bien, un día a la semana empezamos la clase con un juego de Cifras. Para aquellos que no sepan de qué hablo, lo mejor es verlo (del minuto 4:20 al 6:20). La idea de este calentamiento es hacerlo sin calculadora, para que adquieran agilidad de cálculo mental. Es el primer año que lo uso en clase y a mis alumnos les encanta.

3. Acertijos

Creo que casi todos estaremos de acuerdo en que uno de los grandes objetivos de la clase de matemáticas es que aprendan a pensar mejor. Para ello, los acertijos o enigmas matemáticos son una herramienta estupenda. Si se les dota de un envoltorio atractivo (un cuento, una anécdota, etc.), la curiosidad natural de los alumnos hace que quieran encontrar la respuesta, lo cual no se consigue en la mayoría de problemas de la colección del libro de texto (en los que, seamos sinceros, a pocos alumnos les interesa cuál es la respuesta). En la red existen multitud de páginas en las que encontrar este tipo de juegos. Ejemplos de ello son: Aula de Pensamiento Matemático de la UCM  o Juegos de lógica y estrategia. Este año ya los propios alumnos son los que están empezando a traer espontáneamente acertijos que han visto por la red.

4. Miscelánea

Rocío y Elena

Dos de mis alumnas delante de un cuadrado mágico, en el barrio.

En esta sección meto todos los calentamientos que no encajan en  ninguna de las anteriores.

Ejemplos de ello pueden ser: los cuadrados mágicos, los juegos con palillos o cerillas, los juegos del nim, las paradojas de Zenón (Aquiles y la tortuga, entre otras). También aprovecho aquí para ponerles vídeos breves sobre algunos matemáticos, como por ejemplo este gran vídeo sobre Ada Lovelace.

Pues bien, that’s all folks. Si alguna de las ideas os parece interesante, os animo a incorporarlas al principio de vuestras clases. Por supuesto, son bienvenidas todas las contribuciones que tengáis para abrir las clases de matemáticas de manera dinámica y motivadora. Hagan juego.  

Enlaces interesantes:

Warm-Ups—Keys to Effective Mathematics Lessons

Triángulo de Sierpinski

Cifras y letras

Aula de Pensamiento Matemático de la UCM

Escher

Los cuadrados mágicos

Juegos con palillos o cerillas

Juegos del nim

Aquiles y la tortuga

Ada Lovelace

Mamá, quiero ser voluntario

Publicado: agosto 3, 2016 en Uncategorized

Como sabéis, este es un blog dedicado a la enseñanza de las matemáticas. Hoy, sin embargo, me voy a salir por la tangente (mal chiste, perdón) y os voy a hablar de las oportunidades de voluntariado internacional en el campo de la educación. ¿Por qué? Porque acabo de vivir mi primera experiencia como voluntario en Perú y me ha parecido tan enriquecedora que creo que todo el que tenga las ganas y los recursos para hacerlo (tiempo, dinero, etc.) debería animarse.

Voluntariado en el extranjero: ¿por qué?

Una de las primeras cosas que descubrí cuando me planteé hacer un voluntariado fue este vídeo. A mí, personalmente, me vino muy bien verlo, ya que me aclaró la diferencia entre la cooperación, el voluntariado y el turismo solidario. Lo más importante que entendí al ver este vídeo, no obstante, fue que el objetivo principal al viajar a otro país como voluntario no era “ayudar a los demás” como casi todos pensamos cuando nos planteamos hacer un proyecto de este tipo (yo, por lo menos), sino más bien conocer la realidad que allí existe conviviendo con la comunidad.

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Jefferson, 4 añitos. Casi me lo llevo en la maleta.

 

Un momento. Entonces, ¿quiere esto decir que no voy a ayudar? Sí, claro que se ayuda. En primer lugar, porque por el mero hecho de viajar a un país en desarrollo gastas dinero allí y, con ello, ayudas económicamente. Cuanto más responsable sea el gasto que allí hagas, más ayudarás a las comunidades que lo necesiten (me remito al vídeo que os he puesto antes).

Pues vaya. ¿Entonces sólo voy a contribuir con mi dinero? Para eso, ¿no sería mejor que me limitara a hacer una donación y me quedara en casita? De nuevo, aquí se trata de cambiar la perspectiva y no pensar en lo mucho que voy a ayudar a los pobres que me necesitan, sino más bien en qué me puede aportar a mí conocerlos y convivir con ellos (y, de paso, ayudar en lo que se pueda).

Mi experiencia como voluntario

Pero, entonces, ¿merece la pena meterse en todo este berenjenal? Sin duda alguna. Y aquí ya no puedo sino hablar de mi experiencia como voluntario en Huchuy Yachaq durante este verano. Aunque puede sonar a poco comparado con esas aspiraciones genéricas y grandilocuentes de “mejorar el mundo” o “ayudar a los demás”, conocer a la comunidad de niños, profes y demás personas implicadas en este proyecto ha sido una de las experiencias más positivas de mi vida. Creo que el hecho de que se trate de un programa de educación hace que la relación que se crea entre los voluntarios y los niños sea muy especial, porque permite estar en contacto con ellos diariamente y crear un vínculo que parecería impensable en un período tan corto de tiempo.

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Shirley, la dulzura personificada.

Sinceramente, antes de empezar el voluntariado me habría resultado difícil de creer que en apenas un mes pueda surgir tanto cariño. Cariño hacia los niños, hacia las profes, hacia los demás voluntarios… ¡y lo mejor de todo es que es un cariño mutuo! Se podría pensar que los niños ya estarán cansados de recibir a un voluntario tras otro y encariñarse con ellos para luego tener que despedirse en cosa de un mes, pero nada más lejos de la realidad. Es como si fueran una fuente inagotable de cariño y tuvieran para todos. Y, por el camino, con todo ese cariño que te dan, hacen que tú te contagies y también te conviertas en fuente inagotable de cariño. Y así se crea lo que podríamos llamar la “nube del cariño”, un estado mental en el que a uno sólo le sale ser generoso y amable con todos. Algo así como el espíritu navideño, pero esta vez de verdad.

Quiero ir de voluntario: ¿cómo lo organizo?

Cuando uno ya se ha decidido a marcharse de voluntario, empieza la búsqueda. Y se da uno cuenta de que las opciones son muchas. Demasiadas, casi. Para que os hagáis una idea, yo empecé con esta lista. Ahí es nada.

Lo primero que uno aprende es que la mayoría de las organizaciones piden al voluntario un dinero. En él se incluyen gastos de gestión y, a veces, los billetes, comidas y alojamiento durante la estancia. La responsable de Movilidad, Participación Internacional y Desarrollo de AIPC Pandora, explica aquí por qué hay que pagar.

Sabido esto, lo que yo recomiendo es que uno se organice por su cuenta. ¿Cómo? Preguntando a la gente de tu entorno si han hecho algún voluntariado en el campo de la educación o conocen a alguien que lo haya hecho y esté contento con el proyecto en el que ha participado. Yo, por ejemplo, este año conocí el proyecto de Huchuy Yachaq gracias a mi amiga Estrella, que había estado allí hace un tiempo, me habló del proyecto y me puso en contacto directo con la organizadora. Y todo fue tan sencillo como coordinar fechas con ella, comprar los billetes, ponerme las vacunas y… viajar.

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Mis niñitos de 3 años (y Amanda, como siempre, rompiendo las reglas)

Eso sí, hay que tener en cuenta que yo viajaba a Cusco (Perú), un lugar bastante seguro y turístico, por lo que fue fácil organizarme por mi cuenta. Ahora bien, puede haber factores que te animen a viajar a través de una organización desde España. Quizá porque eres muy joven, no has viajado mucho en el extranjero, vas a un lugar menos seguro (pongamos, las favelas en Brasil) o, simplemente, vas más cómodo con algo más organizado. En ese caso, ¿qué organización elegir? Os cuento mi experiencia. Yo el año pasado tenía pensado ir con Voluntariado con ONG’s. De hecho, pagué los gastos de gestión (alrededor de 300 euros en mi caso) y, aunque al final no pude viajar por motivos de salud, os puedo decir que mi impresión fue que no hicieron por mí nada que no hubiera podido hacer yo sólo, si hubiera tenido el contacto directo de la organización local. Ni cursos de formación, ni ayuda billete o alojamiento, ni apenas orientación. Puede que sólo fuera mala suerte, pero, desde mi experiencia, no lo recomiendo (por favor, si alguien ha tenido una buena experiencia con ellos, agradecería que lo compartiera en los comentarios). Existen otras webs similares, como Cooperatour (cuyo nombre es bastante confuso, como entenderás si has visto el vídeo al inicio del post).

La organización que sí conozco, porque muchos de los voluntarios que trabajaron conmigo venían a través de ella, es AIPC Pandora, que ofrece la posibilidad de hacer voluntariados grupales de tres semanas (entre otras opciones). Aunque, además del billete, hay que pagar una cantidad considerable de dinero, creo que es una buena opción para quien quiera estar seguro de que va a estar bien acompañado y se va a encontrar todo bien organizado cuando llegue al destino (alojamiento, comidas, transporte, etc.). Sería, de hecho, la opción que recomendaría a aquellos de vosotros que seáis muy jóvenes y viajéis por primera vez a un proyecto de estas características. Desde luego, puedo decir que el grupo de voluntarios de Pandora que me encontré en mi viaje a Perú era un grupo extraordinario, con una calidad humana, un compromiso hacia el proyecto y una cohesión de grupo que habla muy bien del proceso de selección que se lleva a cabo en Pandora y de las jornadas que se llevan a cabo en Madrid antes del viaje.

Sea cual sea la organización elegida, es muy importante informarse del desglose de los gastos que se te cobran y, en concreto, de cuánto de ello va directamente al proyecto en forma de donación

Just do it

Creo que ya he dicho todo lo que quería decir. Simplemente, me queda animarte a que, si te estás planteando hacer un voluntariado internacional, no lo pienses mucho más y lo hagas. Probablemente, será una de las experiencias más intensas e inolvidables de tu vida.

Canción del día: aunque no sea santo de mi devoción, esta canción sonó tanto durante mi estancia en Perú que se ha ganado el derecho a ser la banda sonora no oficial de este viaje.

Hasta el Amanecer – Nicky Jam

 

Llega por fin el final de curso. Ayer fue el último día de clase, así que hoy es el primer día que no se oyen los gritos y risas de los alumnos.

Para mí, personalmente, este ha sido un año muy importante por dos motivos: en primer lugar, porque me ha permitido superar un profunda crisis sobre mi labor educativa que atravesé el año pasado; en segundo lugar, porque supone el fin de un ciclo, el punto final de tres años fantásticos que me han servido para aprender un montón como profesor y para crecer como persona, gracias a mis compañeros y, sobre todo, a mis alumnos.

Me parece el momento ideal para reflexionar sobre qué cosas podemos aprender nosotros, los profes, para intentar hacerlo un poco mejor el curso que viene. Así que hoy quiero hablar de algo que considero fundamental en la educación, quizá el factor clave que hace que nuestra labor tenga éxito: conectar con los alumnos. En realidad, la expresión que mejor refleja lo que quiero decir sería “to engage the students”. En español, se suele hablar de “conectar” (como aquí o aquí) o incluso de “enamorar” (aquí). Os recomiendo echar un vistazo a todos estos enlaces.

Ahora que me marcho del cole, tanto alumnos como padres me han escrito para agradecerme mi trabajo. Por encima de todo, lo destacan y agradecen no es que les haya enseñado muchas matemáticas o inglés, sino que haya sido capaz de conectar con ellos. Extraigo aquí las palabras de mi alumno Rubén, ya que me parece que es difícil expresar mejor qué hace que un profesor pueda conectar con sus alumnos: “No te has limitado a dar una lección, sino que entre líneas, nos has enseñado muchas más cosas que inglés. De hecho, diría que el inglés es de las menos importantes. Hay una cosa que admiro mucho y es que siempre hayas sido capaz de ver a tus alumnos como personas a tu mismo nivel y no como simples peones incapaces de tener sus propias ideas. Nos has tratado con un respeto y una madurez que he visto pocas veces en todo el tiempo que llevo en el colegio […] Siempre desde una cercanía que muy pocas personas tienen con sus estudiantes. Y lo más importante y por lo que más agradecido estoy: siempre has sabido ver algo en mí que ni yo mismo soy capaz de ver. Desde el minuto uno, me has apoyado en todo lo que he hecho y siempre me has animado a aspirar a más”. Silvia, la madre de otro de mis alumnos, me escribió, entre otras cosas: “Sabes conectar con los alumnos. Un profesor, si motiva a un chaval, puede llegar a que sea casi más importante eso que la nota que saque.”

Para mí, desde luego, no hay ninguna duda de que Silvia tiene razón. Y no es sólo que motivar a un alumno sea más importante que la nota que pueda sacar, sino que es un factor clave para que tenga curiosidad por la disciplina que enseñas y sea él mismo el que se interese por explorar cosas relacionadas con dicha disciplina sin que tú se lo pidas.

Hay muchos educadores que explican con gran tino diversos trucos para conectar con los alumnos (puedes consultar los enlaces de más arriba). Entre ellos, siempre se destacan consejos muy importantes como: entrar con una sonrisa, hacer las clases divertidas, interesarse por sus gustos, reconocer sus logros, etc.

Hoy, sin embargo, quiero insistir en las cuatro premisas que menciona Rubén en su carta:

1) Ver a tus alumnos como personas a tu mismo nivel

2) Tratarlos con respeto y madurez

3) Ser cercano con ellos

4) Creer en ellos.

Todas ellas están, por supuesto, conectadas: sólo si uno ve a sus alumnos como personas capaces de razonar y tener buenas ideas será capaz de tratarlos con respeto. En cuanto a tratarlos con madurez, a mí personalmente me ayuda mucho tener en mente el “análisis transaccional” (AT, o como yo lo llamo, la teoría del PAN), que descubrí gracias al gran psicopedagogo Jorge Casesmeiro. Del AT ya os hablaré otro día, porque es un tema muy amplio y que merece una entrada aparte.

Ser más o menos cercano con los alumnos queda, por supuesto, a criterio de cada educador. A mí, personalmente, encontrar el equilibrio justo entre ser lo suficientemente cercano y impedir que confundan los roles de alumno-profesor me parece una de las tareas más difíciles.  Por último en nuestra lista estaría el creer en ellos. A muchos nos puede parecer obvio que si uno decide dedicarse a la docencia es porque cree en los niños y en su capacidad de hacer cosas valiosas. Sin embargo, cuando un alumno, como Rubén, encuentra tan extraordinario que un profesor vea algo en él como para expresárselo por escrito y agradecérselo es porque por el camino se ha encontrado con algunos educadores que no lo han hecho, que no han visto su valía. O, bien mirado, lo más probable es que sí la hayan visto, pero no se lo hayan sabido transmitir.

Entiendo que a veces los alumnos nos ponen difícil creer en ellos. Así ocurre, por ejemplo, cuando no hacen los deberes, no cumplen los plazos, no escuchan en clase, contestan de forma irrespetuosa, etc. Sin embargo, creo que nuestra labor, casi obligación, como educadores es seguir creyendo en ellos y, sobre todo, transmitiéndoles que creemos en ellos, a pesar de todo lo anterior. Y, desde luego, lo que creo que siempre debemos tener presente es que nuestros alumnos merecen respeto, aunque a veces ellos no se comporten adecuadamente (aquí es donde entra en juego la teoría del PAN, de la que prometo hablaros). Y algo está fallando cuando los alumnos destacan que les trates con madurez y respeto. ¿No debería ser este un punto de partida indispensable?

Espero vuestras opiniones y aportaciones. Me interesa mucho conocer vuestra experiencia, ya sea como alumnos, padres o profes.

Por último, como de costumbre, os dejo la canción del día. Esta vez es una de las canciones favoritas de una alumna mía. Gracias, Sara, por descubrirme esta canción.

Querida música – Capitán Mr.Litro & Nota

 

¿Cómo de alto es muy alto?

Publicado: julio 24, 2015 en Uncategorized

Sí, sí, ya sé, todos pensabais ya que este sería uno de tantos blogs que nacen con mucho entusiasmo pero mueren antes de llegar a las cinco publicaciones. Razones para pensarlo había, porque llevo meses sin escribir nada en él, pero los que sois profesores me entenderéis cuando digo que durante el año escolar la corriente que produce el trabajo del día a día se lleva todo lo demás por delante.

Así que no me ha quedado otro remedio que esperar a las vacaciones para contaros cómo intenté que mis alumnos le cogieran gusto a eso de la trigonometría. No es tarea fácil, ya que no suelen estar bien predispuestos, a pesar de ser su primer contacto con ella en clase. Algunos alumnos han oído hablar de la trigonometría a sus hermanos mayores y otros quizá hayan oído hablar de ella en alguna serie de TV, en las que se suele reflejar como algo aburrido o difícil. Como ejemplo, véanse las dificultades de Mr. Bean en este examen:

Mr Bean y sus problemas con la trigonometría

Mr Bean y sus problemas con la trigonometría

Lo habitual en los libros de texto es presentar todos los fundamentos matemáticos de la trigonometría y, en el apartado final, explicar sus aplicaciones. A mí me pareció más motivador empezar al revés, viendo primero algunos usos de la trigonometría para motivarles y meternos después con más ganas en la matemática que hay detrás. Claro, es probable que alguno de sus usos más importantes les queden aún fuera del alcance (por ejemplo, su aplicación en el campo de las señales a través de la transformada de Fourier, pues no conocen todavía los conceptos de frecuencia y fase). A pesar de ello, sus aplicaciones en geometría las pueden entender fácilmente. Creo que este vídeo resume muy bien este tipo de usos (yo se lo proyecté a mis alumnos a partir del 0:37, por centrarnos únicamente en las aplicaciones en un primer momento).

Una vez que los alumnos entendieron que uno de los usos de la trigonometría es calcular alturas difíciles de medir y, después de explicarles las razones trigonométricas, una opción habría sido plantearles un problema similar a éste (probablemente, a más de uno de vosotros le sonará):

Problema para calcular la altura a partir de la trigonometría  (http://slideplayer.es/slide/27960/ )

Problema para calcular la altura a partir de la trigonometría
(http://slideplayer.es/slide/27960/ )

En lugar de eso, les planteé: ¿qué altura se os ocurre que podemos medir sin salir del colegio? ¿de qué formas distintas la podríamos calcular? ¿Qué medidas necesitamos tomar? ¿Qué instrumentos necesitamos?

La mayoría eligieron calcular la altura de nuestro edificio desde el patio. Entre las formas de calcularla, la más original fue la de un alumno que propuso subirse al tejado y medirla con un láser, pero no supo especificar más (yo, sin ser experto en el campo, supongo que esta opción es factible con un sensor de distancias de largo alcance). Por supuesto, no faltó el que propuso usar una “cinta métrica gigante” para medir la distancia desde lo alto hasta la base. En cualquier caso, esos métodos quedaban descartados, porque ninguno de mis alumnos tenía permiso para subir al tejado. Así, la única opción que nos quedó para poder hallar la altura fue observar el edificio desde una distancia y medir tanto dicha distancia en horizontal como el ángulo (de elevación).

¿Y qué instrumentos necesitaríamos? Para medir la distancia, era fácil: un flexómetro (perfecto, eso podíamos conseguirlo fácilmente). ¿Y para medir el ángulo? A esto no supieron responder, así que les hablé de los teodolitos. Sin embargo, descartamos esta opción porque comprarlos era muy caro y construirlos nos llevaría demasiado tiempo y queríamos algo más sencillo (si os interesa, en este documento explican paso a paso cómo construir un teodolito escolar). Así que les hablé de los cuadrantes, les enseñé uno ya hecho y discutimos qué tipo de materiales podrían usar para hacerlo y cómo lo podrían construir. Para ello, usé esta sencilla presentación en PPT.

Instrumentos para medir ángulos (Presentación en PowerPoint)

Cuadrante

Cuadrante elaborado por un alumno

Una vez que cada uno hizo su cuadrante, sólo quedaba bajar al patio, realizar las medidas y hacer los cálculos para hallar la altura. Eso sí, insistí mucho en que antes de hacer las medidas y los cálculos hicieran una estimación de la altura del edificio, para que más tarde pudieran verificar si el resultado obtenido tenía sentido.

Para que todo fluyera con orden, les preparé un guión, que constaba de dos partes: primero, se trataba de calcular la altura a la que estaba el tejado. Aquí, el único factor adicional a tener en cuenta fue que las medidas podían ser imprecisas debido al viento o a la poca precisión del propio cuadrante, por les pedí que hicieran dos medidas, cada una desde una distancia diferente, para observar si se producían grandes discrepancias y, en tal caso, repetir las medidas.

Guión de la práctica

En la segunda parte de la práctica, les pedí que calcularan la altura de un pequeño saliente que tiene nuestro edificio en el tejado (véase el guión). En este caso, no se podía acceder a la base de dicho saliente, por lo que teníamos dos incógnitas: la distancia a la base y la altura. La única opción era plantear dos triángulos y medir la distancia entre los dos puntos, tal como se explica en el guion.

Marta mide la altura de Bárbara hasta el ojo

Marta mide la altura de Bárbara hasta el ojo

Carlota mide el ángulo de elevación

Carlota mide el ángulo de elevación

Javi mide el ángulo de elevación

Javi mide el ángulo de elevación

Borja, Pablo y Sergio miden la distancia desde la base

Borja, Pablo y Sergio miden la distancia desde la base

Al final de la clase, todos los grupos habían obtenido una medida de la altura del colegio y del pequeño saliente con bastante precisión. ¡Habíamos utilizado la trigonometría para algo más que resolver un problema en el libro de texto! Por el camino, habíamos aprendido qué instrumentos se usan para medir ángulos y, lo más importante, nos habíamos planteado diferentes métodos para obtener la información que queríamos y diversas vías para llevar a cabo esos métodos, ajustándonos a las restricciones (económicas, temporales, de seguridad, etc.). Y por último, habíamos llegado a un resultado razonable y que la lógica nos permitía dar por bueno (y si no lo habíamos hecho a la primera, habíamos revisado porque sabíamos que había un error). Los alumnos se lo pasaron bien y aprovechamos para cambiar un poco la dinámica de clase con una práctica “de campo” que, espero, tardaran más en olvidar que otras clases.

Y hasta aquí la entrada de hoy. ¿A alguien se le ocurren otras ideas para hacer la trigonometría más accesible? Y, en un plano más general (no referido únicamente a la trigonometría), ¿se os ocurren otras actividades de tipo práctico o proyectos que podamos hacer con nuestros alumnos para que estén más motivados en clase de matemáticas?

Recomendación musical: Mengele y el amor.

Fuentes consultadas:

http://www.iesamoreno.es/_iesdata/dptos/dpto_matematicas/eso4/practicatrigonometria.pdf

http://www.qedcat.com/moviemath/

http://www.cac.es/cursomotivar/resources/document/2013/13.pdf

Y tú, ¿por qué estudias matemáticas?

Publicado: septiembre 25, 2014 en Uncategorized

Esta año comienzo el curso con más ganas aún que el anterior. “¿Por qué?”—os preguntaréis. Pues porque este año, por primera vez desde hace tres años, vuelvo a dar la asignatura de Matemáticas. Son sólo cinco horas a la semana, pero me hace la misma ilusión que si fueran 20.

La pena, claro, es que ninguno de mis alumnos tiene tanta ilusión por estudiar matemáticas como yo por enseñarlas. Creo que casi todos vosotros coincidiréis en que las Mates son probablemente la asignatura que más rechazo provoca entre el alumnado. Ante este panorama, antes de empezar el curso, pensé: “¿Cómo podría hacer yo para que este año mis alumnos cogieran las Mates con un poco más de motivación?”.

Desde mi punto de vista, la falta de motivación para con las mates se debe a dos razones: la primera es que los alumnos no entienden para qué les puede servir estudiar matemáticas; la segunda, que muchos de ellos además se sienten incapaces de hacer matemáticas. “Las matemáticas nunca se me han dado bien”—dicen. Hoy quiero centrarme en la primera de ellas. La segunda la dejo para otra entrada.

Parece bastante lógico que alguien que se va a pasar  horas y horas estudiando una asignatura  se pregunte para qué le sirve hacerlo. De hecho, todos los profes de Matemáticas (y, seguramente, de otras asignaturas) nos encontramos periódicamente con un alumno que pregunta: “Profe, pero esto, ¿para qué nos sirve a nosotros?”. Habrá quien, por quitarse la pregunta del medio, responda que para aprobar. Otros, mejor intencionados, responderán: “Las matemáticas sirven para muchas cosas. Están presentes en todo lo que nos rodea”. Y no faltarán a la verdad. El problema es que la pregunta no suele ser “¿Para qué sirven las matemáticas?”, sino “¿Para qué me sirve a mí estudiar matemáticas?“.

El primer día de clase, antes de que ellos me lo preguntaran a mí, les lancé yo la pregunta. Uno de ellos, me la rebotó: “Y tú, ¿qué responderías?”. “A mí, estudiar matemáticas me sirve, sobre todo, para aprender a pensar mejor”—dije. Tal como esperaba, esta respuesta, que a mí tan tranquilo me deja, no satisfizo a muchos de mis alumnos que, acostumbrados como están a que les demos todas las respuestas, me pedían otra respuesta. Como precisamente una de las virtudes principales de un buen matemático es su curiosidad y su afán de buscar respuestas, pedí a cada uno de mis alumnos que escribiera su propia respuesta en un post-it, con la idea de colgar todas en un mural titulado “¿Por qué estudio matemáticas?”. Muchos de ellos, naturalmente, no sabían qué poner, así que colgaron sus post-its en blanco, aunque firmados.

Ese mismo día, les di a leer este excelente artículo, que es el mejor que he encontrado hasta la fecha sobre esta cuestión. Una vez leído y comentado, les pedí que volvieran a coger su post-it y a cambiar su respuesta si habían encontrado una motivación mejor para estudiar matemáticas. Algunos se mantuvieron fieles a su primera respuesta. Otros, los más, la cambiaron. Esta vez ninguno dejó el post-it en blanco, aunque yo había hecho hincapié en que lo rellenaran sólo si la respuesta que iban a escribir les convencía. El póster resultante ha quedado colgado en el aula de matemáticas, para que los alumnos lo tengan presente y cambien su motivación a lo largo del curso si lo consideran oportuno.

Póster en el aula de Matemáticas

Póster en el aula de Matemáticas

Entre las respuestas que se dieron a sí mismos, por mencionar algunas, están las siguientes: “Las matemáticas enseñan paciencia”; “Fomentan la imaginación y la creatividad y aumentan tus límites”; “Para tener más paciencia y a desarrollar más capacidades como la creatividad y la lógica”; “Para poder razonar mejor mis problemas”.

Es probable, casi diría que seguro, que alguno de mis alumnos se haya limitado a repetir (con sus palabras) alguna de las ideas que leyeron en el artículo antes mencionado, sin estar realmente motivados para aprender matemáticas por ello. Otros, espero, habrán dedicado por lo menos unos minutos a plantearse de verdad para qué sirve esto de estudiar matemáticas y habrán ido un poco más allá de la característica rebeldía adolescente consistente en oponerse a lo que le viene impuesto.

Sí, estudiar matemáticas es una imposición del sistema. Sin embargo, ya que tienes que estudiarlas, ¿no es una buena idea plantearte en qué te puede ayudar? Quizá, en el camino, encuentres tu propia respuesta. Si no es así, por lo menos te habrás planteado la pregunta y habrás buscado una respuesta. Sin saberlo, ya estarás haciendo matemáticas.

Y tú, ¿por qué estudias matemáticas?

(Recomendación musical: Hidrogenesse – Disfraz de tigre)